Romance matemático
Dê-me o silêncio...
Para eu dizer que nosso romance é como uma equação
Em que ponho-me, insistentemente;
A descobrir o valor de sua incógnita.
Dê-me o silêncio...
Para eu derrubar todos os axiomas;
Que insistem em dizer que nosso amor é impossível.
Dê-me o silêncio...
Para eu dizer que você é o pivô de minha matriz escalonada;
Que cada virtude que encontro em você
É um determinante para nossa relação.
Dê-me o silêncio...
Para eu dizer que a função que rege minha vida
Consiste em que cada elemento do seu domínio
Está associado a um elemento de meu contra-domínio.
Dê-me o silêncio...
Para eu te mostrar que nossas retas paralelas se encontrarão no infinito.
Dê-me o silêncio...
Para eu dizer que quando contemplo a imagem de seu corpo,
Meus batimentos cardíacos modelam uma cossenóide.
Dê-me o silêncio...
Para te provar que embora sejamos ângulos opostos pelo vértice,
nossas medidas são iguais.
Nesse instante me calo e quem diz tudo é você.
Andreson Costa dos Santos Souza e Alex Bruno Carvalho dos Santos
segunda-feira, 8 de junho de 2009
Concha Gómez: guru matemática para mulheres e minorias
Antes de terminar seu Ph.D. em matemática na University of California, em Berkeley (UCB), Concha Gómez imaginou o emprego de seus sonhos: "estaria numa grande universidade de pesquisa, ensinando matemática e entre matemáticos. Mas meu trabalho seria me concentrar em estudantes de ciência negros." Cinco anos depois, é exatamente este seu papel na University of Wisconsin, em Madison (UWM). Gómez não é só professora de matemática, como diretora do programa Wisconsin Emerging Scholars (WES). Ela apóia e ajuda estudantes minoritários da ciência, matemática e engenharia desprovidos de voz representativa a permaneceram na área. Como uma matemática latino-americana, Gómez é sem dúvida uma raridade, entretanto um ser comprometido a ajudar outras pessoas a trilharem o caminho que ela seguiu.
Problemas para se adaptar
Por coincidência, há 25 anos, Gómez era ela mesma uma estudante da classe de minorias na UWN, e por carecer de ajuda financeira e incentivo, abandonou os estudos 2 anos depois. Aos 20 anos, Gómez mudou-se de Madison para São Francisco. Ela fez uns bicos por uns tempos; um bacharelado não era sua maior prioridade. Entretanto, quando começou a fazer cursos na universidade pública local para se distrair, acabou achando um novo rumo na vida. "Lembro-me de que além de gostar de matemática eu era boa nisso", diz. Ela encarou alguns cursos de matemática e viu que gostava de aprender. Com o incentivo dos amigos e colegas de classe, Gómez se transferiu para a UCB para fazer um bacharelado em matemática.
Embora tenha se apaixonado pelo assunto, não se sentiu como parte da comunidade acadêmica de matemática. Apesar de tirar notas altas, os professores não se lembravam dela. Nos grupos de estudo, quando ela sugeria soluções para problemas matemáticos, os alunos não a ouviam. Gómez acreditava que não era respeitada ou mesmo notada por ser latino-americana e mulher. Mesmo assim, não desistiu. Gómez terminou seu bacharelado em matemática operando basicamente sozinha.
O anel Noetheriano
Esta capacidade de ser bem-sucedida apesar da discriminação esmoreceu quando ela começou a pós-graduação. De acordo com Gómez, no início da década de 90, o departamento de matemática da UCB era "avesso às mulheres." Ela achou forças para persistir ao conhecer outras alunas de pós-graduação em matemática, que também se "sentiam isoladas." Em 1991, tal solidariedade se solidificou na forma de um ´grupo de matemáticas` chamado Anel Noetheriano, co-fundado por Gómez. O anel é uma estrutura matemática batizada em homenagem à admirável matemática Emmy Noether.
O objetivo do grupo era tornar a matemática mais aprazível para as mulheres. Os membros forneciam aconselhamento para as estudantes novatas e correntes. Elas também se encarregavam de selecionar matemáticas para palestrarem em colóquios. O grupo reservava um tempo semanal para o convívio social e para falar sobre matemática, e elas pressionaram o departamento de matemática da UCB a ativamente recrutarem mais mulheres. No final, tal ativismo acabou criando polêmica e hostilidade; levou um tempo para que o grupo fosse realmente aceito no departamento.
"As pessoas rasgavam as filipetas [que divulgavam as reuniões] e desenhavam caretas nas imagens... Os estudantes homens da pós-graduação nos confrontavam no corredor", lembra-se Gómez. No final, a oposição foi morrendo, e um burburinho sobre a visão e iniciativa do grupo chegou trazendo inspiração aos ouvidos de outras matemáticas. O Massachusetts Institute of Technology (MIT), a Johns Hopkins University, e a UWM acabaram formando seus próprios grupos de matemática para mulheres.
Para Gómez, fazer parte do Anel Noetheriano foi instrumental para sua sobrevivência na pós-graduação, e a experiência exerceu uma enorme influência sobre ela. "Me tornei uma oradora articulada... As pessoas sabiam que podiam contar comigo para levantar a voz não só sobre questões do sexo feminino e minorias. De certa forma me tornei uma extremista, tentando implementar mudanças".
Quando estava para terminar seu Ph.D. e enquanto liderava as questões das classes minoritárias, a saúde de Gómez passou a ser um problema. Ela foi diagnosticada com esclerose múltipla (EM), uma doença auto-imune do sistema nervoso central. Gómez mantinha a doença sob controle com o uso de medicações, mas um sintoma, a fadiga crônica, restringia seu tempo de trabalho. Desde sua diagnose, ela tem se concentrado em trabalhos menos estressantes que não requerem pesquisa.
Uma missão
Gómez terminou seu Ph.D. em 2000 e avaliou seu próximo passo profissional. Embora ela tivesse atingido um patamar importante em sua carreira acadêmica, ser uma matemática latino-americana a tornava uma espécie rara. De acordo com o relatório Science and Engineering Indicators 2004, da National Science Foundation, dois índios americanos/naturais do Alasca, 14 negros, 15 hispânicos, e 70 asiáticos/ilhéus do Pacífico receberam em 2000 o grau de doutorado em matemática. O relatório não especifica dados por raça ou sexo, ou seja, mulheres hispânicas, mas 258 mulheres receberam o doutorado em matemática em comparação a 790 homens e 463 caucasianos. Embora Gómez tenha conduzido pesquisa matemática como uma estudante de pós-doutorado, sua paixão maior estava em conquistar mais igualdade entre etnias e os sexos na matemática. Ela decidiu achar um cargo de ensino que enfatizasse o apoio aos estudantes universitários minoritários e às mulheres.
Quando Gómez foi contratada como professora assistente para ensinar matemática na Middlebury College em Vermont, ela esperava que fosse uma oportunidade de fazer grandes mudanças. Infelizmente, o ambiente acadêmico transformou a tarefa em mais do que um simples desafio. "Eu abria o verbo [sobre as minorias e outras questões], e então me diziam que isso não se faz. Os docentes juniores deveriam manter um low profile", disse. Ela também achou que muitos dos estudantes brancos de classe média/alta desta pequena faculdade de artes liberais eram desrespeitosos. Eles às vezes a tratavam como se fosse uma doméstica ao invés de professora.
Com vontade de ir embora de Vermont, Gómez assumiu seu atual cargo em Madison. Desde o outono de 2004, Gómez trabalha num cargo não titular ensinando matemática e dirigindo a WES, um dos Programas Acadêmicos Emergentes em todo o país, criado para ajudar os estudantes desprovidos de voz representativa a permanecerem na ciência.
Através do programa, Gómez visa estudantes minoritários e aqueles de áreas rurais que têm grande potencial acadêmico como bacharéis em ciência, matemática e engenharia, mas que precisam de um apoio adicional para se saírem bem nos cursos de cálculo da UWM. Dominar o cálculo não é tarefa fácil nestas graduações; vários cursos de cálculo são necessários para estes bacharelados e muitos estudantes o acham muito difícil, chegando mesmo a fazer com que alguns desistam ou mudem de disciplina, explica Gómez. Portanto, o programa afia as habilidades dos estudantes através de workshops, onde enfrentam complexos problemas de matemática juntos.
Gómez pode ter encarado desafios singulares como uma latino-americana na matemática. Mas no final, concluiu que seu talento e paixão por esta disciplina deram-lhe uma carreira de sucesso apesar da falta de diversidade em sua área. O mais importante é que vencer estes desafios gerou seu compromisso com o ensino e a diversificação nas ciências. E hoje em dia, não há mais nada que ela queira fazer.
Edna Francisco é colaboradora da MiSciNet e pode ser contatada através do e-mail eofrancisco@nasw.org.
Traduzido por Karen Shishiptorova
Problemas para se adaptar
Por coincidência, há 25 anos, Gómez era ela mesma uma estudante da classe de minorias na UWN, e por carecer de ajuda financeira e incentivo, abandonou os estudos 2 anos depois. Aos 20 anos, Gómez mudou-se de Madison para São Francisco. Ela fez uns bicos por uns tempos; um bacharelado não era sua maior prioridade. Entretanto, quando começou a fazer cursos na universidade pública local para se distrair, acabou achando um novo rumo na vida. "Lembro-me de que além de gostar de matemática eu era boa nisso", diz. Ela encarou alguns cursos de matemática e viu que gostava de aprender. Com o incentivo dos amigos e colegas de classe, Gómez se transferiu para a UCB para fazer um bacharelado em matemática.
Embora tenha se apaixonado pelo assunto, não se sentiu como parte da comunidade acadêmica de matemática. Apesar de tirar notas altas, os professores não se lembravam dela. Nos grupos de estudo, quando ela sugeria soluções para problemas matemáticos, os alunos não a ouviam. Gómez acreditava que não era respeitada ou mesmo notada por ser latino-americana e mulher. Mesmo assim, não desistiu. Gómez terminou seu bacharelado em matemática operando basicamente sozinha.
O anel Noetheriano
Esta capacidade de ser bem-sucedida apesar da discriminação esmoreceu quando ela começou a pós-graduação. De acordo com Gómez, no início da década de 90, o departamento de matemática da UCB era "avesso às mulheres." Ela achou forças para persistir ao conhecer outras alunas de pós-graduação em matemática, que também se "sentiam isoladas." Em 1991, tal solidariedade se solidificou na forma de um ´grupo de matemáticas` chamado Anel Noetheriano, co-fundado por Gómez. O anel é uma estrutura matemática batizada em homenagem à admirável matemática Emmy Noether.
O objetivo do grupo era tornar a matemática mais aprazível para as mulheres. Os membros forneciam aconselhamento para as estudantes novatas e correntes. Elas também se encarregavam de selecionar matemáticas para palestrarem em colóquios. O grupo reservava um tempo semanal para o convívio social e para falar sobre matemática, e elas pressionaram o departamento de matemática da UCB a ativamente recrutarem mais mulheres. No final, tal ativismo acabou criando polêmica e hostilidade; levou um tempo para que o grupo fosse realmente aceito no departamento.
"As pessoas rasgavam as filipetas [que divulgavam as reuniões] e desenhavam caretas nas imagens... Os estudantes homens da pós-graduação nos confrontavam no corredor", lembra-se Gómez. No final, a oposição foi morrendo, e um burburinho sobre a visão e iniciativa do grupo chegou trazendo inspiração aos ouvidos de outras matemáticas. O Massachusetts Institute of Technology (MIT), a Johns Hopkins University, e a UWM acabaram formando seus próprios grupos de matemática para mulheres.
Para Gómez, fazer parte do Anel Noetheriano foi instrumental para sua sobrevivência na pós-graduação, e a experiência exerceu uma enorme influência sobre ela. "Me tornei uma oradora articulada... As pessoas sabiam que podiam contar comigo para levantar a voz não só sobre questões do sexo feminino e minorias. De certa forma me tornei uma extremista, tentando implementar mudanças".
Quando estava para terminar seu Ph.D. e enquanto liderava as questões das classes minoritárias, a saúde de Gómez passou a ser um problema. Ela foi diagnosticada com esclerose múltipla (EM), uma doença auto-imune do sistema nervoso central. Gómez mantinha a doença sob controle com o uso de medicações, mas um sintoma, a fadiga crônica, restringia seu tempo de trabalho. Desde sua diagnose, ela tem se concentrado em trabalhos menos estressantes que não requerem pesquisa.
Uma missão
Gómez terminou seu Ph.D. em 2000 e avaliou seu próximo passo profissional. Embora ela tivesse atingido um patamar importante em sua carreira acadêmica, ser uma matemática latino-americana a tornava uma espécie rara. De acordo com o relatório Science and Engineering Indicators 2004, da National Science Foundation, dois índios americanos/naturais do Alasca, 14 negros, 15 hispânicos, e 70 asiáticos/ilhéus do Pacífico receberam em 2000 o grau de doutorado em matemática. O relatório não especifica dados por raça ou sexo, ou seja, mulheres hispânicas, mas 258 mulheres receberam o doutorado em matemática em comparação a 790 homens e 463 caucasianos. Embora Gómez tenha conduzido pesquisa matemática como uma estudante de pós-doutorado, sua paixão maior estava em conquistar mais igualdade entre etnias e os sexos na matemática. Ela decidiu achar um cargo de ensino que enfatizasse o apoio aos estudantes universitários minoritários e às mulheres.
Quando Gómez foi contratada como professora assistente para ensinar matemática na Middlebury College em Vermont, ela esperava que fosse uma oportunidade de fazer grandes mudanças. Infelizmente, o ambiente acadêmico transformou a tarefa em mais do que um simples desafio. "Eu abria o verbo [sobre as minorias e outras questões], e então me diziam que isso não se faz. Os docentes juniores deveriam manter um low profile", disse. Ela também achou que muitos dos estudantes brancos de classe média/alta desta pequena faculdade de artes liberais eram desrespeitosos. Eles às vezes a tratavam como se fosse uma doméstica ao invés de professora.
Com vontade de ir embora de Vermont, Gómez assumiu seu atual cargo em Madison. Desde o outono de 2004, Gómez trabalha num cargo não titular ensinando matemática e dirigindo a WES, um dos Programas Acadêmicos Emergentes em todo o país, criado para ajudar os estudantes desprovidos de voz representativa a permanecerem na ciência.
Através do programa, Gómez visa estudantes minoritários e aqueles de áreas rurais que têm grande potencial acadêmico como bacharéis em ciência, matemática e engenharia, mas que precisam de um apoio adicional para se saírem bem nos cursos de cálculo da UWM. Dominar o cálculo não é tarefa fácil nestas graduações; vários cursos de cálculo são necessários para estes bacharelados e muitos estudantes o acham muito difícil, chegando mesmo a fazer com que alguns desistam ou mudem de disciplina, explica Gómez. Portanto, o programa afia as habilidades dos estudantes através de workshops, onde enfrentam complexos problemas de matemática juntos.
Gómez pode ter encarado desafios singulares como uma latino-americana na matemática. Mas no final, concluiu que seu talento e paixão por esta disciplina deram-lhe uma carreira de sucesso apesar da falta de diversidade em sua área. O mais importante é que vencer estes desafios gerou seu compromisso com o ensino e a diversificação nas ciências. E hoje em dia, não há mais nada que ela queira fazer.
Edna Francisco é colaboradora da MiSciNet e pode ser contatada através do e-mail eofrancisco@nasw.org.
Traduzido por Karen Shishiptorova
Pk todo o mundo odeia matemática??
Quem Ama Matemática é pq. entende.
Quem Não ama Matemática é pq. Não entende .
Sei bem disto. Experíência própria.
Dicas para aprender Matemática
As vezes é difícil entender certa parte da mat.
O que se sabe é que quando se entende , a pessoa gosta muito.
Não existe pessoa que não aprende.
É questão de método.
Para resolver certa falha neste processo, foi inventado o método KUMON muito importante e que vai sanando as dificuldades individuais.
dicas:
seguindo alguns passos.
p/ aprender: parte do concreto vai p/ o abstrato e então a teorização
por isso segue um fator primordial:
Matemática é dura pois exige muita concentração e raciocínio,
como hoje o objetivo é que as pessoas não devem pensar e sim comprar pronto (p/ eles ganharem mais) , a mat. se destaca como pesada.
O segredo para entender mat. é estudar em 3 ambientes diferentes.
1) na sala , Você aprende
2) em casa faz os exerc. ( no início parece difícil parasse que tem começar tudo de novo, não é mesmo?)
3) outro ambiente , pode ser casa de outro colega, parque ou outra sala de aula , daí, tu vais fixar e aprender realmente
já assistiu aula num canto da sala e na prova o prof. mudou de lugar, pareceu estranho e difícil raciocinar ?
Quando vai em uma sala diferente, o que Você faz? olha ao redor vê a janela e tudo o que há ao redor, não é mesmo?
Isto porque o ambiente influi no teu raciocínio !
Quando se faz ensino médio, estuda-se a Matemática encarando basicamente os exercícios. Qt + vc fizer, mas vai entender e sua mente vai trabalhar + rápido.
Como todas as outras disciplinas, vc tb tem q estudar a TEORIA e só depois encarar os cálculos. Qd ñ conseguir resolver um problema, não desista dele - busque ajuda do professor!
Esses desafios são legais pq são estimulantes.. e qd a gente começa a entender Matemática, ela se torna uma espécie de vício pq a gente sente q o cérebro ta funcionando, raciocinando ( vc tem q pensar qd estuda Matemática!!!!! ) e toda hora quer resolver + questões - Isso é verdade !
Ao contrário das outras matérias cuja base é memória... (e um pouco de associação ...)
Sempre estudar em ambiente calmo e silencioso - Isso é básico! Quer estudar? Desligue o computador! E mande avisarem q vc está ocupado(a) ( ou tel e visitas vão te atrapalhar...) mande deixar recados e te entreguem após estudos.
Tenha sempre em mente a definição do assunto que se está estudando.
Estude! Empenhe-se!
Quem Não ama Matemática é pq. Não entende .
Sei bem disto. Experíência própria.
Dicas para aprender Matemática
As vezes é difícil entender certa parte da mat.
O que se sabe é que quando se entende , a pessoa gosta muito.
Não existe pessoa que não aprende.
É questão de método.
Para resolver certa falha neste processo, foi inventado o método KUMON muito importante e que vai sanando as dificuldades individuais.
dicas:
seguindo alguns passos.
p/ aprender: parte do concreto vai p/ o abstrato e então a teorização
por isso segue um fator primordial:
Matemática é dura pois exige muita concentração e raciocínio,
como hoje o objetivo é que as pessoas não devem pensar e sim comprar pronto (p/ eles ganharem mais) , a mat. se destaca como pesada.
O segredo para entender mat. é estudar em 3 ambientes diferentes.
1) na sala , Você aprende
2) em casa faz os exerc. ( no início parece difícil parasse que tem começar tudo de novo, não é mesmo?)
3) outro ambiente , pode ser casa de outro colega, parque ou outra sala de aula , daí, tu vais fixar e aprender realmente
já assistiu aula num canto da sala e na prova o prof. mudou de lugar, pareceu estranho e difícil raciocinar ?
Quando vai em uma sala diferente, o que Você faz? olha ao redor vê a janela e tudo o que há ao redor, não é mesmo?
Isto porque o ambiente influi no teu raciocínio !
Quando se faz ensino médio, estuda-se a Matemática encarando basicamente os exercícios. Qt + vc fizer, mas vai entender e sua mente vai trabalhar + rápido.
Como todas as outras disciplinas, vc tb tem q estudar a TEORIA e só depois encarar os cálculos. Qd ñ conseguir resolver um problema, não desista dele - busque ajuda do professor!
Esses desafios são legais pq são estimulantes.. e qd a gente começa a entender Matemática, ela se torna uma espécie de vício pq a gente sente q o cérebro ta funcionando, raciocinando ( vc tem q pensar qd estuda Matemática!!!!! ) e toda hora quer resolver + questões - Isso é verdade !
Ao contrário das outras matérias cuja base é memória... (e um pouco de associação ...)
Sempre estudar em ambiente calmo e silencioso - Isso é básico! Quer estudar? Desligue o computador! E mande avisarem q vc está ocupado(a) ( ou tel e visitas vão te atrapalhar...) mande deixar recados e te entreguem após estudos.
Tenha sempre em mente a definição do assunto que se está estudando.
Estude! Empenhe-se!
Como estudar Matemática
O estudante que se prepara para o vestibular tem de dominar as ferramentas básicas da Matemática, que vai usar sempre. É imprescindível saber resolver equações, saber fatorar, por exemplo, expressões algébricas, saber operar com números, saber trabalhar com decimais, saber porcentagem.
Na preparação para os exames, ao longo do ano, o estudante não deve deixar assuntos acumulados, sem compreendê-los, até porque certos assuntos são necessários para avançar em outros. Por exemplo, se não souber fatorar direito, não dominará equações algébricas.
Como enfrentar todos os assuntos durante o ano? Cada pessoa tem o seu método de estudar, mas uma coisa não dá para deixar de lado: o esforço. O estudante precisa usar todos os recursos possíveis. Tem de estudar teoria, aprender conceitos, entender os exemplos que são dados e estudar sempre escrevendo. Matemática não dá para estudar só lendo. O estudante tem de procurar entender a teoria escrevendo, reformulando, redimensionando, fazendo esquemas e rascunhos, e depois enfrentando os exercícios um por um.
Quando se fala em exercícios, não é simplesmente ficar repetindo exercícios padronizados. O fundamental é enfrentar problemas que exijam não só memorização, mas também estratégia, metodologia, criatividade. É importante que no elenco de exercícios haja alguns de fixação, que é exatamente para fixar conceitos, e outros que peçam múltiplas estratégias.
Um conselho: não se deve ficar um período inteiro tentando resolver um exercício que não sai. É contraproducente. Perdeu mais de 10, 15 minutos num exercício, põe de lado e registra: "não sei fazer este". Depois tenta de novo. Se ainda aí não conseguir resolver, deve pedir ajuda ao professor, ao plantonista ou a um colega. O pedido de ajuda não significa esperar que a outra pessoa resolva o exercício, acompanhando o que foi feito e no final dizer: "ah, entendi". Em Matemática não adianta achar que entendeu porque viu e pensou que estava tudo claro. Se não dominar o conceito, tentando acertar por seus próprios meios, não dominará as técnicas e não conseguirá resolver. O pedido de ajuda correto deve ser no sentido de a outra pessoa dar dicas, orientação para resolver a questão – e não buscar a resposta pronta e desenvolvida.
Na preparação para os exames, ao longo do ano, o estudante não deve deixar assuntos acumulados, sem compreendê-los, até porque certos assuntos são necessários para avançar em outros. Por exemplo, se não souber fatorar direito, não dominará equações algébricas.
Como enfrentar todos os assuntos durante o ano? Cada pessoa tem o seu método de estudar, mas uma coisa não dá para deixar de lado: o esforço. O estudante precisa usar todos os recursos possíveis. Tem de estudar teoria, aprender conceitos, entender os exemplos que são dados e estudar sempre escrevendo. Matemática não dá para estudar só lendo. O estudante tem de procurar entender a teoria escrevendo, reformulando, redimensionando, fazendo esquemas e rascunhos, e depois enfrentando os exercícios um por um.
Quando se fala em exercícios, não é simplesmente ficar repetindo exercícios padronizados. O fundamental é enfrentar problemas que exijam não só memorização, mas também estratégia, metodologia, criatividade. É importante que no elenco de exercícios haja alguns de fixação, que é exatamente para fixar conceitos, e outros que peçam múltiplas estratégias.
Um conselho: não se deve ficar um período inteiro tentando resolver um exercício que não sai. É contraproducente. Perdeu mais de 10, 15 minutos num exercício, põe de lado e registra: "não sei fazer este". Depois tenta de novo. Se ainda aí não conseguir resolver, deve pedir ajuda ao professor, ao plantonista ou a um colega. O pedido de ajuda não significa esperar que a outra pessoa resolva o exercício, acompanhando o que foi feito e no final dizer: "ah, entendi". Em Matemática não adianta achar que entendeu porque viu e pensou que estava tudo claro. Se não dominar o conceito, tentando acertar por seus próprios meios, não dominará as técnicas e não conseguirá resolver. O pedido de ajuda correto deve ser no sentido de a outra pessoa dar dicas, orientação para resolver a questão – e não buscar a resposta pronta e desenvolvida.
Cálculos Ensino Fundamental: Expressões algébricas
CálculosEnsino Fundamental: Expressões algébricas
O uso das Expressões algébricas
Elementos históricos
Expressões Numéricas
Expressões algébricas
Prioridade das operações
Exercícios
Monômios e polinômios
Identificando express. algébricas
Valor numérico expr.algébrica
A regra dos sinais (X e ÷)
Regras de potenciação
Eliminação de parênteses
Operações com expr. algébricas
Alguns Produtos notáveis
O uso das expressões algébricas
No cotidiano, muitas vezes usamos expressões sem perceber que as mesmas representam expressões algébricas ou numéricas.
Numa papelaria, quando calculamos o preço de um caderno somado ao preço de duas canetas, usamos expressões como 1x+2y, onde x representa o preço do caderno e y o preço de cada caneta.
Num colégio, ao comprar um lanche, somamos o preço de um refrigerante com o preço de um salgado, usando expressoes do tipo 1x+1y onde x representa o preço do salgado e y o preço do refrigerante.
Usamos a subtração para saber o valor do troco. Por exemplo, se V é o valor total de dinheiro disponível e T é o valor do troco, então temos uma expresão algébrica do tipo V-(1x+1y)=T.
As expressões algébricas são encontradas muitas vezes em fórmulas matemáticas. Por exemplo, no cálculo de áreas de retângulos, triângulos e outras figuras planas.
Expressão algébrica Objeto matemático Figura
A = b x h Área do retângulo
A = b x h / 2 Área do triângulo
P = 4 a Perímetro do quadrado
Elementos históricos
Na Antiguidade, as letras foram pouco usadas na representação de números e relações. De acordo com fontes históricas, os gregos Euclides e Aristóteles (322-384 a.C), usaram as letras para representar números. A partir do século XIII o matemático italiano Leonardo de Pisa (Fibonacci), que escreveu o livro sobre Liber Abaci (o livro do ábaco) sobre a arte de calcular, observamos alguns cálculos algébricos.
O grande uso de letras para resumir mais racionalmente o cálculo algébrico passou a ser estudado pelo matemático alemão Stifel (1486-1567), pelos matemáticos italianos Germano (1501-1576) e Bombelli (autor de Álgebra publicada em 1572), porém, foi com o matemático francês François Viéte (1540-1603), que introduziu o uso ordenado de letras nas analogias matemáticas, quando desenvolveu o estudo do cálculo algébrico.
Expressões Numéricas
São expressões matemáticas que envolvem operações com números. Por exemplo:
a = 7+5+4
b = 5+20-87
c = (6+8)-10
d = (5×4)+15
Expressões algébricas
São expressões matemáticas que apresentam letras e podem conter números. São também denominadas expressões literais. Por exemplo:
A = 2a+7b
B = (3c+4)-5
C = 23c+4
As letras nas expressões são chamadas variáveis o que significa que o valor de cada letra pode ser substituída por um valor numérico.
Prioridade das operações numa expressão algébrica
Nas operações em uma expressão algébrica, devemos obedecer a seguinte ordem:
Potenciação ou Radiciação
Multiplicação ou Divisão
Adição ou Subtração
Observações quanto à prioridade:
Antes de cada uma das três operações citadas, deve-se realizar a operação que estiver dentro dos parênteses, colchetes ou chaves.
A multiplicação pode ser indicada por × ou por um ponto · ou às vezes sem sinal, desde que fique clara a intenção da expressão.
Muitas vezes devemos utilizar parênteses quando substituímos variáveis por valores negativos.
Exemplos:
Consideremos P=2A+10 e tomemos A=5. Assim
P = 2.5+10 = 10+10 = 20
Aqui A é a variável da expressão, 5 é o valor numérico da variável e 20 é o valor numérico da expressão indicada por P. Observe que ao mudar o valor de A para 9, teremos:
A = 2.9 + 10 = 18 + 10 = 28
Se A=9, o valor numérico de P=2A+10 é igual a 28.
Seja X=4A+2+B-7 e tomemos A=5 e B=7. Assim:
X = 4.5+2+7-7 = 20+2-0 = 22
Se A=5 e B=7, o valor numérico de X=4A+2+B-7, muda para 22.
Seja Y=18-C+9+D+8C, onde C= -2 e D=1. Então:
Y = 18-(-2)+9+1+8(-2) = 18+2+9+1-16 = 30-16 = 14
Se C=-2 e D=1, o valor numérico de Y=18-C+9+D+8C, é 14.
Conclusão: O valor numérico de uma expressão algébrica é o valor obtido na expressão quando substituímos a variável por um valor numérico.
Exemplos:
Um triângulo eqüilátero possui os três lados com mesma medida. Calcular o perímetro de um triângulo equilátero cujo lado mede 5 cm, sabendo-se que o perímetro de um triangulo equilátero pode ser representado por uma expressão algébrica da forma: P=a+a+a=3a. Substituindo a=5cm nesta expressão, obtemos P=3×5cm=15cm.
Para obter a área do quadrado cujo lado mede 7cm, devemos usar a expressão algébrica para a área do quadrado de lado L que é A=L×L=L². Assim, se L=7cm, então A=7×7=49cm².
Observação: Mudando o valor do lado para L=8cm, o valor da área mudará para A=8×8=64cm².
Escreva expressões algébricas para representar o perímetro de cada uma das figuras abaixo:
Se a letra y representa um número natural, escreva a expressão algébrica que representa cada um dos seguintes fatos:
O dobro desse número.
O sucessor desse número.
O antecessor desse número (se existir).
Um terço do número somado com seu sucessor.
Como caso particular do exercício anterior, tome y=9 e calcule o valor numérico:
do dobro de y
do sucessor de y
do antecessor de y
da terça parte de y somado com o sucessor de y
Calcular a área do trapézio ilustrado na figura, sabendo-se que esta área pode ser calculada pela expressão algébrica A=(B+b)×h/2, onde B é a medida da base maior, b é a medida da base menor e h é a medida da altura.
Monômios e polinômios
São expressões matemáticas especiais envolvendo valores numéricos e literais, onde podem aparecer somente operações de adição, subtração ou multiplicação. Os principais tipos são apresentados na tabela:
Nome No.termos Exemplo
monômio um m(x,y) = 3 xy
binômio dois b(x,y) = 6 x²y - 7y
trinômio três f(x) = a x² + bx + c
polinômio vários p(x)=aoxn+a1xn-1+a2xn-2+...+an-1x+an
Identificação das expressões algébricas
Com muita frequência, as expressões algébricas aparecem na forma:
3x²y
onde se observa que ela depende das variáveis literais x e y, mas é importante identificá-las com nomes como:
p(x,y) = 3x²y
para deixar claro que esta é uma expressão algébrica que depende das variáveis x e y.
Esta forma de notação é muito útil e nos leva ao conceito de função de várias variáveis que é um dos conceitos mais importantes da Matemática.
Valor numérico de uma expressão algébrica identificada
É o valor obtido para a expressão, ao substituir as variáveis literais por valores numéricos.
Exemplo: Tomando p(x,y)=3x²y, então para x=7 e y=2 temos que:
p(7,2) = 3 × 7² × 2 = 294
Se alterarmos os valores de x e de y para x=-1 e y=5, teremos outro valor numérico:
p(-1,5) = 3 × (-1)² × 5 = 3 × 5 = 15
mas dependendo da mudança de x e de y, poderíamos ter o mesmo valor numérico que antes. Se x=-7 e y=2, teremos:
p(7,2) = 3 × (-7)² × 2 = 294
A regra dos sinais (multiplicação ou divisão)
(+1) x (+1) = +1 (+1) ÷ (+1) = +1
(+1) x (-1) = -1 (+1) ÷ (-1) = -1
(-1) x (+1) = -1 (-1) ÷ (+1) = -1
(-1) x (-1) = +1 (-1) ÷ (-1) = +1
Regras de potenciação
Para todos os números reais x e y diferentes de zero, e, m e n números inteiros, tem-se que:
Propriedades Alguns exemplos
xº=1 (x não nulo) 5º = 1
xm xn = xm+n 5².54 = 56
xm ym = (xy)m 5² 3² = 15²
xm ÷ xn = xm-n 520 ÷ 54 = 516
xm ÷ ym = (x/y)m 5² ÷ 3² = (5/3)²
(xm)n = xmn (53)² = 125² = 15625 = 56
xm÷n = (xm)1/n 53÷2 = (53)1/2 = 1251/2
x-m = 1 ÷ xm 5-3 = 1 ÷ 53 = 1/125
x-m/n = 1 ÷ (xm)1/n 5-3/2 = 1 ÷ (53)1/2= 1 ÷ (125)1/2
Eliminação de parênteses em Monômios
Para eliminar os parênteses em uma expressão algébrica, deve-se multiplicar o sinal que está fora (e antes) dos parênteses pelo sinal que está dentro (e antes) dos parênteses com o uso da regra dos sinais. Se o monômio não tem sinal, o sinal é o positivo. Se o monômio tem o sinal +, o sinal é o positivo.
Exemplos:
A = -(4x)+(-7x) = -4x-7x = -11x
B = -(4x)+(+7x) = -4x+7x = 3x
C = +(4x)+(-7x) = 4x-7x = - 3x
D = +(4x)+(+7x) = 4x+7x = 11x
Operações com expressões algébricas de Monômios
Adição ou Subtração de Monômios
Para somar ou subtrair de monômios, devemos primeiramente eliminar os parênteses e depois realizar as operações.
Exemplos:
A = -(4x)+(-7x) = -4x-7x = -11x
B = -(4x)+(+7x) = -4x+7x = 3x
C = +(4x)+(-7x) = 4x-7x = -3x
D = +(4x)+(+7x) = 4x+7x = 11x
Multiplicação de Monômios
Para multiplicar monômios, deve-se primeiramente multiplicar os valores numéricos observando com muito cuidado a regra de multiplicação dos sinais, multiplicar as potências literais de mesma base e escrever a resposta de uma forma simplificada:
Exemplos:
A = -(4x²y).(-2xy) = +8x³y²
B = -(4x²y).(+2xy) = -8x³y²
C = +(4x²y).(-2xy) = -8x³y²
D = +(4x²y).(+2xy) = +8x³y²
Divisão de Monômios
Para dividir monômios, deve-se primeiramente dividir os valores numéricos observando com muito cuidado a regra de divisão dos sinais, dividir as potências literais de mesma base e escrever a resposta de uma forma simplificada:
Exemplos:
A = -(4x²y)÷(-2xy) = 2x
B = -(4x²y)÷(+2xy) = -2x
C = +(4x²y)÷(-2xy) = -2x
D = +(4x²y)÷(+2xy) = 2x
Potenciação de Monômios
Para realizar a potenciação de um monômio, deve-se primeiramente realizar a potenciação do valor numérico levando em consideração o sinal, tomar as potências literais e escrever a resposta de uma forma simplificada:
Exemplos:
A =(+4x²y)³= 4³ x²y x²y ²y = 256 x6 y³
B =(-4x²y)³ = -4³x²y x²y x²y = -256x6 y³
Alguns Produtos notáveis
No link Produtos Notáveis, existem outros trinta (30) produtos notáveis importantes.
Quadrado da soma de dois termos
Sabemos que x²=x.x, y²=y.y, mas não é verdade que
x² + y² = (x+y)²
a menos que um dos dois termos seja nulo. Este é um erro muito comum, mas o correto é:
(x+y)² = x² + 2xy + y²
Isto significa que o quadrado da soma de dois números sem sempre é igual à soma dos quadrados desses números.
Existe um algoritmo matemático que permite obter o quadrado da soma de x e y, e este algoritmo é semelhante àquele que permite obter o quadrado de um número com dois dígitos. Por exemplo, o número 13 pode ser decomposto em 10+3:
x+y
x+y
+xy+y²
x²+xy
x²+2xy+y²
Compare
as duas
operações 10+3
10-3
+10.3+3²
10²+10.3
10²+2.10.3+3²
Assim temos que o quadrado da soma de dois termos x e y, é a soma do quadrado do primeiro termo com o quadrado do segundo termo e com o dobro do produto do primeiro termo pelo segundo termo. Em resumo:
(x+y)² = x² + 2xy + y²
Exemplos:
(x+8)² = x²+2.x.8+8² = x²+16x+64
(3k+y)² = (3k)²+2.3k.y+y² = 9k²+6ky+y²
(1+x/5)² = 1+ 2x/5 +x²/25
Exercícios: Desenvolver as expressões:
(a+8)² =
(4y+2)² =
(9k/8 +3)² =
Pensando um pouco:
Se (x+7)²=x²+[ ]+49, qual é o termo que deve ser colocado no lugar de [ ]?
Se (5a+[ ])² = 25a²+30a+[ ], quais são os termos que devem ser colocados nos lugares de [ ]?
Se ([ ]+9)² = x²+[ ]+81, quais são os termos que devem ser colocados nos lugares de [ ]?
Se (4b+[ ])² = l6b²+36b+[ ], substitua os [ ] por algo coerente.
Se (c+8)²=c²+[ ]+[ ], substitua os [ ] por algo coerente.
Quadrado da diferença de dois termos
Como um caso particular da situação anterior, o quadrado da diferença de x e y é igual ao quadrado de x somado com o quadrado de y menos duas vezes xy. Resumindo:
(x-y)² = x² - 2xy + y²
Exemplos:
(x-4)² = x²-2.x.4+4² = x²-8x+16
(9-k)² = 9²-2.9.k+k² = 81-18k+k²
(2/y -x)² = (2/y)²-2.(2/y).x+x²
Exercícios: Complete o que falta.
(5x-9)² =[ ]
(k-6s)² =[ ]
(p-[ ])² = p²-10p+[ ]
Produto da soma pela diferença de dois termos
Vamos utilizar o mesmo algoritmo já usado para o produto da soma de dois termos.
x+y
x-y
-xy-y²
x²+xy
x² -y²
Compare
as duas
operações 10+3
10-3
-10.3-3²
10²+10.3
10² - 3²
Em geral, o produto da soma de x e y pela diferença entre x e y é igual ao quadrado de x menos o quadrado de y.
(x+y)(x-y) = x² - y²
Exemplos:
(x+2)(x-2) = x²-2x+2x-4 = x²-4
(g-8)(g+8) = g²-8g+8g-64 = g²-64
(k-20)(k+20) = k²-400
(9-z)(9+z) = 81-z²
Exercícios: Complete as expressões:
(6-m)(6+m) =
(b+6)(b-6) =
(6+b)(b-6) =
(6+b)(6-b) =
(100-u)(100+u) =
(u-100)(100+u) =
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Construída por Valdirene M.Santos e Ulysses Sodré. Atualizada em 24/mar/2005.
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O uso das Expressões algébricas
Elementos históricos
Expressões Numéricas
Expressões algébricas
Prioridade das operações
Exercícios
Monômios e polinômios
Identificando express. algébricas
Valor numérico expr.algébrica
A regra dos sinais (X e ÷)
Regras de potenciação
Eliminação de parênteses
Operações com expr. algébricas
Alguns Produtos notáveis
O uso das expressões algébricas
No cotidiano, muitas vezes usamos expressões sem perceber que as mesmas representam expressões algébricas ou numéricas.
Numa papelaria, quando calculamos o preço de um caderno somado ao preço de duas canetas, usamos expressões como 1x+2y, onde x representa o preço do caderno e y o preço de cada caneta.
Num colégio, ao comprar um lanche, somamos o preço de um refrigerante com o preço de um salgado, usando expressoes do tipo 1x+1y onde x representa o preço do salgado e y o preço do refrigerante.
Usamos a subtração para saber o valor do troco. Por exemplo, se V é o valor total de dinheiro disponível e T é o valor do troco, então temos uma expresão algébrica do tipo V-(1x+1y)=T.
As expressões algébricas são encontradas muitas vezes em fórmulas matemáticas. Por exemplo, no cálculo de áreas de retângulos, triângulos e outras figuras planas.
Expressão algébrica Objeto matemático Figura
A = b x h Área do retângulo
A = b x h / 2 Área do triângulo
P = 4 a Perímetro do quadrado
Elementos históricos
Na Antiguidade, as letras foram pouco usadas na representação de números e relações. De acordo com fontes históricas, os gregos Euclides e Aristóteles (322-384 a.C), usaram as letras para representar números. A partir do século XIII o matemático italiano Leonardo de Pisa (Fibonacci), que escreveu o livro sobre Liber Abaci (o livro do ábaco) sobre a arte de calcular, observamos alguns cálculos algébricos.
O grande uso de letras para resumir mais racionalmente o cálculo algébrico passou a ser estudado pelo matemático alemão Stifel (1486-1567), pelos matemáticos italianos Germano (1501-1576) e Bombelli (autor de Álgebra publicada em 1572), porém, foi com o matemático francês François Viéte (1540-1603), que introduziu o uso ordenado de letras nas analogias matemáticas, quando desenvolveu o estudo do cálculo algébrico.
Expressões Numéricas
São expressões matemáticas que envolvem operações com números. Por exemplo:
a = 7+5+4
b = 5+20-87
c = (6+8)-10
d = (5×4)+15
Expressões algébricas
São expressões matemáticas que apresentam letras e podem conter números. São também denominadas expressões literais. Por exemplo:
A = 2a+7b
B = (3c+4)-5
C = 23c+4
As letras nas expressões são chamadas variáveis o que significa que o valor de cada letra pode ser substituída por um valor numérico.
Prioridade das operações numa expressão algébrica
Nas operações em uma expressão algébrica, devemos obedecer a seguinte ordem:
Potenciação ou Radiciação
Multiplicação ou Divisão
Adição ou Subtração
Observações quanto à prioridade:
Antes de cada uma das três operações citadas, deve-se realizar a operação que estiver dentro dos parênteses, colchetes ou chaves.
A multiplicação pode ser indicada por × ou por um ponto · ou às vezes sem sinal, desde que fique clara a intenção da expressão.
Muitas vezes devemos utilizar parênteses quando substituímos variáveis por valores negativos.
Exemplos:
Consideremos P=2A+10 e tomemos A=5. Assim
P = 2.5+10 = 10+10 = 20
Aqui A é a variável da expressão, 5 é o valor numérico da variável e 20 é o valor numérico da expressão indicada por P. Observe que ao mudar o valor de A para 9, teremos:
A = 2.9 + 10 = 18 + 10 = 28
Se A=9, o valor numérico de P=2A+10 é igual a 28.
Seja X=4A+2+B-7 e tomemos A=5 e B=7. Assim:
X = 4.5+2+7-7 = 20+2-0 = 22
Se A=5 e B=7, o valor numérico de X=4A+2+B-7, muda para 22.
Seja Y=18-C+9+D+8C, onde C= -2 e D=1. Então:
Y = 18-(-2)+9+1+8(-2) = 18+2+9+1-16 = 30-16 = 14
Se C=-2 e D=1, o valor numérico de Y=18-C+9+D+8C, é 14.
Conclusão: O valor numérico de uma expressão algébrica é o valor obtido na expressão quando substituímos a variável por um valor numérico.
Exemplos:
Um triângulo eqüilátero possui os três lados com mesma medida. Calcular o perímetro de um triângulo equilátero cujo lado mede 5 cm, sabendo-se que o perímetro de um triangulo equilátero pode ser representado por uma expressão algébrica da forma: P=a+a+a=3a. Substituindo a=5cm nesta expressão, obtemos P=3×5cm=15cm.
Para obter a área do quadrado cujo lado mede 7cm, devemos usar a expressão algébrica para a área do quadrado de lado L que é A=L×L=L². Assim, se L=7cm, então A=7×7=49cm².
Observação: Mudando o valor do lado para L=8cm, o valor da área mudará para A=8×8=64cm².
Escreva expressões algébricas para representar o perímetro de cada uma das figuras abaixo:
Se a letra y representa um número natural, escreva a expressão algébrica que representa cada um dos seguintes fatos:
O dobro desse número.
O sucessor desse número.
O antecessor desse número (se existir).
Um terço do número somado com seu sucessor.
Como caso particular do exercício anterior, tome y=9 e calcule o valor numérico:
do dobro de y
do sucessor de y
do antecessor de y
da terça parte de y somado com o sucessor de y
Calcular a área do trapézio ilustrado na figura, sabendo-se que esta área pode ser calculada pela expressão algébrica A=(B+b)×h/2, onde B é a medida da base maior, b é a medida da base menor e h é a medida da altura.
Monômios e polinômios
São expressões matemáticas especiais envolvendo valores numéricos e literais, onde podem aparecer somente operações de adição, subtração ou multiplicação. Os principais tipos são apresentados na tabela:
Nome No.termos Exemplo
monômio um m(x,y) = 3 xy
binômio dois b(x,y) = 6 x²y - 7y
trinômio três f(x) = a x² + bx + c
polinômio vários p(x)=aoxn+a1xn-1+a2xn-2+...+an-1x+an
Identificação das expressões algébricas
Com muita frequência, as expressões algébricas aparecem na forma:
3x²y
onde se observa que ela depende das variáveis literais x e y, mas é importante identificá-las com nomes como:
p(x,y) = 3x²y
para deixar claro que esta é uma expressão algébrica que depende das variáveis x e y.
Esta forma de notação é muito útil e nos leva ao conceito de função de várias variáveis que é um dos conceitos mais importantes da Matemática.
Valor numérico de uma expressão algébrica identificada
É o valor obtido para a expressão, ao substituir as variáveis literais por valores numéricos.
Exemplo: Tomando p(x,y)=3x²y, então para x=7 e y=2 temos que:
p(7,2) = 3 × 7² × 2 = 294
Se alterarmos os valores de x e de y para x=-1 e y=5, teremos outro valor numérico:
p(-1,5) = 3 × (-1)² × 5 = 3 × 5 = 15
mas dependendo da mudança de x e de y, poderíamos ter o mesmo valor numérico que antes. Se x=-7 e y=2, teremos:
p(7,2) = 3 × (-7)² × 2 = 294
A regra dos sinais (multiplicação ou divisão)
(+1) x (+1) = +1 (+1) ÷ (+1) = +1
(+1) x (-1) = -1 (+1) ÷ (-1) = -1
(-1) x (+1) = -1 (-1) ÷ (+1) = -1
(-1) x (-1) = +1 (-1) ÷ (-1) = +1
Regras de potenciação
Para todos os números reais x e y diferentes de zero, e, m e n números inteiros, tem-se que:
Propriedades Alguns exemplos
xº=1 (x não nulo) 5º = 1
xm xn = xm+n 5².54 = 56
xm ym = (xy)m 5² 3² = 15²
xm ÷ xn = xm-n 520 ÷ 54 = 516
xm ÷ ym = (x/y)m 5² ÷ 3² = (5/3)²
(xm)n = xmn (53)² = 125² = 15625 = 56
xm÷n = (xm)1/n 53÷2 = (53)1/2 = 1251/2
x-m = 1 ÷ xm 5-3 = 1 ÷ 53 = 1/125
x-m/n = 1 ÷ (xm)1/n 5-3/2 = 1 ÷ (53)1/2= 1 ÷ (125)1/2
Eliminação de parênteses em Monômios
Para eliminar os parênteses em uma expressão algébrica, deve-se multiplicar o sinal que está fora (e antes) dos parênteses pelo sinal que está dentro (e antes) dos parênteses com o uso da regra dos sinais. Se o monômio não tem sinal, o sinal é o positivo. Se o monômio tem o sinal +, o sinal é o positivo.
Exemplos:
A = -(4x)+(-7x) = -4x-7x = -11x
B = -(4x)+(+7x) = -4x+7x = 3x
C = +(4x)+(-7x) = 4x-7x = - 3x
D = +(4x)+(+7x) = 4x+7x = 11x
Operações com expressões algébricas de Monômios
Adição ou Subtração de Monômios
Para somar ou subtrair de monômios, devemos primeiramente eliminar os parênteses e depois realizar as operações.
Exemplos:
A = -(4x)+(-7x) = -4x-7x = -11x
B = -(4x)+(+7x) = -4x+7x = 3x
C = +(4x)+(-7x) = 4x-7x = -3x
D = +(4x)+(+7x) = 4x+7x = 11x
Multiplicação de Monômios
Para multiplicar monômios, deve-se primeiramente multiplicar os valores numéricos observando com muito cuidado a regra de multiplicação dos sinais, multiplicar as potências literais de mesma base e escrever a resposta de uma forma simplificada:
Exemplos:
A = -(4x²y).(-2xy) = +8x³y²
B = -(4x²y).(+2xy) = -8x³y²
C = +(4x²y).(-2xy) = -8x³y²
D = +(4x²y).(+2xy) = +8x³y²
Divisão de Monômios
Para dividir monômios, deve-se primeiramente dividir os valores numéricos observando com muito cuidado a regra de divisão dos sinais, dividir as potências literais de mesma base e escrever a resposta de uma forma simplificada:
Exemplos:
A = -(4x²y)÷(-2xy) = 2x
B = -(4x²y)÷(+2xy) = -2x
C = +(4x²y)÷(-2xy) = -2x
D = +(4x²y)÷(+2xy) = 2x
Potenciação de Monômios
Para realizar a potenciação de um monômio, deve-se primeiramente realizar a potenciação do valor numérico levando em consideração o sinal, tomar as potências literais e escrever a resposta de uma forma simplificada:
Exemplos:
A =(+4x²y)³= 4³ x²y x²y ²y = 256 x6 y³
B =(-4x²y)³ = -4³x²y x²y x²y = -256x6 y³
Alguns Produtos notáveis
No link Produtos Notáveis, existem outros trinta (30) produtos notáveis importantes.
Quadrado da soma de dois termos
Sabemos que x²=x.x, y²=y.y, mas não é verdade que
x² + y² = (x+y)²
a menos que um dos dois termos seja nulo. Este é um erro muito comum, mas o correto é:
(x+y)² = x² + 2xy + y²
Isto significa que o quadrado da soma de dois números sem sempre é igual à soma dos quadrados desses números.
Existe um algoritmo matemático que permite obter o quadrado da soma de x e y, e este algoritmo é semelhante àquele que permite obter o quadrado de um número com dois dígitos. Por exemplo, o número 13 pode ser decomposto em 10+3:
x+y
x+y
+xy+y²
x²+xy
x²+2xy+y²
Compare
as duas
operações 10+3
10-3
+10.3+3²
10²+10.3
10²+2.10.3+3²
Assim temos que o quadrado da soma de dois termos x e y, é a soma do quadrado do primeiro termo com o quadrado do segundo termo e com o dobro do produto do primeiro termo pelo segundo termo. Em resumo:
(x+y)² = x² + 2xy + y²
Exemplos:
(x+8)² = x²+2.x.8+8² = x²+16x+64
(3k+y)² = (3k)²+2.3k.y+y² = 9k²+6ky+y²
(1+x/5)² = 1+ 2x/5 +x²/25
Exercícios: Desenvolver as expressões:
(a+8)² =
(4y+2)² =
(9k/8 +3)² =
Pensando um pouco:
Se (x+7)²=x²+[ ]+49, qual é o termo que deve ser colocado no lugar de [ ]?
Se (5a+[ ])² = 25a²+30a+[ ], quais são os termos que devem ser colocados nos lugares de [ ]?
Se ([ ]+9)² = x²+[ ]+81, quais são os termos que devem ser colocados nos lugares de [ ]?
Se (4b+[ ])² = l6b²+36b+[ ], substitua os [ ] por algo coerente.
Se (c+8)²=c²+[ ]+[ ], substitua os [ ] por algo coerente.
Quadrado da diferença de dois termos
Como um caso particular da situação anterior, o quadrado da diferença de x e y é igual ao quadrado de x somado com o quadrado de y menos duas vezes xy. Resumindo:
(x-y)² = x² - 2xy + y²
Exemplos:
(x-4)² = x²-2.x.4+4² = x²-8x+16
(9-k)² = 9²-2.9.k+k² = 81-18k+k²
(2/y -x)² = (2/y)²-2.(2/y).x+x²
Exercícios: Complete o que falta.
(5x-9)² =[ ]
(k-6s)² =[ ]
(p-[ ])² = p²-10p+[ ]
Produto da soma pela diferença de dois termos
Vamos utilizar o mesmo algoritmo já usado para o produto da soma de dois termos.
x+y
x-y
-xy-y²
x²+xy
x² -y²
Compare
as duas
operações 10+3
10-3
-10.3-3²
10²+10.3
10² - 3²
Em geral, o produto da soma de x e y pela diferença entre x e y é igual ao quadrado de x menos o quadrado de y.
(x+y)(x-y) = x² - y²
Exemplos:
(x+2)(x-2) = x²-2x+2x-4 = x²-4
(g-8)(g+8) = g²-8g+8g-64 = g²-64
(k-20)(k+20) = k²-400
(9-z)(9+z) = 81-z²
Exercícios: Complete as expressões:
(6-m)(6+m) =
(b+6)(b-6) =
(6+b)(b-6) =
(6+b)(6-b) =
(100-u)(100+u) =
(u-100)(100+u) =
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Construída por Valdirene M.Santos e Ulysses Sodré. Atualizada em 24/mar/2005.
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Fórmulas Matemáticas
fq
...física e química para quem se lembrou hoje que o teste é amanhã!
ÍNDICE INÍCIO
Início Tabelas Fórmulas matemáticas
Fórmulas matemáticas
Fórmula resolvente 2º grau
Para um equação do género
ax2 + bx + c = 0
utiliza-se a seguinte fórmula resolvente:
obtendo-se dois resultados.
Em física e em química, normalmente apenas um dos resultados corresponderá a um valor com significado, pelo que deverá ser feita uma apreciação aos dois valores encontrados.
Áreas (A)
Círculo
A = p.r2
em que r é o raio da circunferência.
Circunferência
A = 4.p.r2
em que r é o raio da circunferência.
Quadrado
A = l2
em que l é o comprimento do lado.
Rectângulo
A = b.h
em que b é o comprimento da base e h a altura.
Triângulo
A = (b.h)/2
em que b é o comprimento da base e h a altura.
Perímetro (P)
Circunferência
P = 2.p.r
em que r é o raio da circunferência.
Volume (V)
Cilindro
V = p.r2.h
em que r é o raio da circunferência e h a altura do cilindro.
Cubo
V = a3
em que a é o comprimento do lado.
Esfera
V = 4(p.r2)/3
em que r é o raio da circunferência.
Paralelepípedo
V = a.b.c
em que a, b e c são os comprimentos do lado, altura e espessura, respectivamente.
Relações trigonométricas
sin a = cateto oposto / hipotenusa
cos a = cateto adjacente / hipotenusa
tg a = cateto oposto / cateto adjacente
...física e química para quem se lembrou hoje que o teste é amanhã!
ÍNDICE INÍCIO
Início Tabelas Fórmulas matemáticas
Fórmulas matemáticas
Fórmula resolvente 2º grau
Para um equação do género
ax2 + bx + c = 0
utiliza-se a seguinte fórmula resolvente:
obtendo-se dois resultados.
Em física e em química, normalmente apenas um dos resultados corresponderá a um valor com significado, pelo que deverá ser feita uma apreciação aos dois valores encontrados.
Áreas (A)
Círculo
A = p.r2
em que r é o raio da circunferência.
Circunferência
A = 4.p.r2
em que r é o raio da circunferência.
Quadrado
A = l2
em que l é o comprimento do lado.
Rectângulo
A = b.h
em que b é o comprimento da base e h a altura.
Triângulo
A = (b.h)/2
em que b é o comprimento da base e h a altura.
Perímetro (P)
Circunferência
P = 2.p.r
em que r é o raio da circunferência.
Volume (V)
Cilindro
V = p.r2.h
em que r é o raio da circunferência e h a altura do cilindro.
Cubo
V = a3
em que a é o comprimento do lado.
Esfera
V = 4(p.r2)/3
em que r é o raio da circunferência.
Paralelepípedo
V = a.b.c
em que a, b e c são os comprimentos do lado, altura e espessura, respectivamente.
Relações trigonométricas
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cos a = cateto adjacente / hipotenusa
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